אימגו מגזין מאמרים

כתב עת בנושאי תרבות ותוכן

פרקטלים – עולם במימד שבור


התמונה של נח שמיר
תאריך פרסום קודם: 
2003

 

המושג פרקטלים צץ בחיינו לפרקים. עושים בהם שימוש בתחומים מעשיים שונים של החיים, ציורי פרקטלים או כאלה שפרקטלים משולבים בהם מקשטים אתרים שונים, ולא מזמן סיפרו לי אפילו על כך שבתכנית מד"ב נטען שהפרקטלים הם הוכחה לקיומו של האלוהים. אז הנה, על קצה המזלג, מהם פרקטלים ולמה הם משמשים. 

א.  מה פרקטלים הם לא 

כדאי להבהיר מראש בלבול המקובל בקשר לפרקטלים. לפעמים טוענים על משהו שהוא פרקטל כזה או אחר. אין יצור פיזי בעולמנו שהוא פרקטל אמיתי בתכונותיו. הפרקטלים הוא יצורים מתימטיים וכיון שמתימטיקה אינה מדע אלא לשון המדעים (כפי שטען נכון ד"ר בן עזרא במאמרו "מלכת המדעים אינה מדע ") מהגדרתם נובע, כפי שאבהיר בהמשך, שלא יכול להיות יצור כזה בעולם הממשי. יצורים פיזיים יכולים להיות בעלי תכונות פרקטליות או אפשר להציג אותם בקירוב ע"י פרקטלים. 

ב.  מאיפה זה צץ

קחו את מפת המזרח התיכון ואמרו לי מה הוא אורכו של נהר הירדן. התשובה המיידית תתקבל ממדידת המרחק בין הכינרת לים המלח. כשמסתכלים על מפת ישראל, ברור שהתשובה הזו אינה מדוייקת, כיון שאפשר להבחין בבירור בפיתולים של הנהר המאריכים אותו מעבר למרחק הישר בין שתי הימות. מפה טופוגרפית "תאריך" את הנהר עוד יותר ואם נלך לאורך הערוץ נבחין בפיתולים נוספים, הקטנים מלהופיע במפה. בנוסף, כל סלע בולט יגדיל את האורך הנמדד וודאי שהוא יגדל עוד אם נתייחס לחלוקי נחל על השפה ועוד יותר אם נרד לסקאלות מיקרוסקופיות. 

למה אני מספר לכם את המעשיה הזו המובנת מאליה? כיון שזהו הבסיס ל"יצירת" הפרקטלים. הרעיון שהמימד הוא לא מוחלט אלא תלוי בסקלה שבה מסתכלים הוא לא חדש, אבל עד לשנות השבעים לא ניסו לקבוע סדר ושיטה בקביעות האינטואיטיביות האלה.  המתימטיקאי  האמריקאי בנואה מנדלברוט, שעבד כחוקר במעבדות חברת המחשבים  IBM בארה"ב, הבין שיש  כאן יותר מאשר קוריוז. בעצם, כמעט כל צורת נוף טבעית מתנהגת כך: ככל שמתבוננים בה יותר מקרוב, רואים בה עוד ועוד פיתולים, שקעים וגבשושיות. אבל גם טענה כללית כזו אפשר לדרג לפי מידת הפיתולים ולנסות לקרב את ה"התנהגות" הזו במודל מתימטי.

למשל: קוי החוף של נוווגיה וישראל, שניהם מפותלים יותר מהקו החלק המתאר אותם במפה בעלת קנה מידה גדול, אבל זה של נורווגיה מפותל בהרבה מזה של ישראל. יותר מזה. מידת הפיתול של החוף הנורווגי גדולה יותר מזו של הישראלי בכל קנה מידה (לא מיקרוסקופי) של צילום קו החוף שנרד אליו. יש כאן משהו עקבי בשני קוי החוף האלה, שאינו תלוי בסקלה שבה מסתכלים. במלים אחרות, ככל שמתבוננים יותר מקרוב רואים עוד ועוד פרטים, אבל הצורה הכללית איננה משתנה. התכונה הזו - כל חלק דומה לצורה השלמה נקראת בשם "דמיון עצמי".

צורה זו של דמיון עצמי  קיימת בטבע  במגוון רחב של תופעות, מראש כרובית ועד לעננים, מכלי הדם בגוף ועד להרים, עצים ועוד הרבה אחרים. בכל הדברים האלה, הסתכלות קרובה יותר ויותר תתן לנו תמונה שתהיה דומה לזו שבסקאלה הגדולה יותר. יותר מזה, דמיון עצמי קיים לא רק בעצמים פיסיקליים בטבע אלא גם בהתנהגיות של דברים שונים, חלקם מעשה ידינו: רעשים אלקטרוניים ברשתות תקשורת, תנודות המנייות בבורסה (השוו התנהגות יומית להתנהגות חודשית ולהתנהגות רב-שנתית) והתנהגות תופעות שונות במזג האויר. מנדלברוט הרגיש שיש כאן משהו רחב שיש צורך לאחד ולמסד אותו מתימטית וב-1975 טבע את המושג "פרקטלים" מהמילה הלטינית "פרקטוס" המציינת שבר. כפי שהוא הגדיר זאת, פרקטל הוא צורה שאיננה קו ישר ושיש לה תכונת הדמיון העצמי, כלומר היא נשארת דומה לעצמה גם כאשר מתבוננים מקרוב בקטע קטן שלה. צריך לציין שעד אז רק קוים ישרים היו (בצורה טריויאלית) דומים לעצמם בגיאומטריה המקובלת. נראה בהמשך שהגדת הפרקטלים אפשרה לתת להם מימד לא שלם, בניגוד למימד ה-1 של קוים, שני מימדים של מישורים ושלושה של נפחים שהיו היחידים המוכרים. אבל לפני שנמשיך ונהפוך את הנושא למתימטי מדי ומופשט (וכדי שלא תפסיקו את הקריאה כאן), כמה דוגמאות להמחשה. 

ג.  הבה נבנה כמה פרקטלים 

הבה נבנה למשל למשל קווים שאין בהם שום קטע חלק, אלא כל נקודה שלהם היא נקודת חוד, שבה כיוון הקו משתנה באופן לא רציף. נשמע מסובך? לאו דוקא.

פרקטל כזה הוא "פתית השלג" שהמציאה המתימטיקאית אלזה קוך בשנת 1904. כמובן שהיא לא קראה לו פרקטל, למרות שנהיה כזה. פתית השלג של קוך נבנה באופן הבא. לוקחים קו ישר, מוחקים את השליש האמצעי שלו, ובמקומו בונים משולש שווה צלעות. כעת לוקחים כל אחד מארבעת הקטעים הישרים

 שנוצרו מוחקים את השליש האמצעי שלו, ובמקומו בונים משולש שווה צלעות, ממשיכים כך שוב ושוב עד אינסוף, והקו שמתקבל הוא העקומה של קוך.

 אפשר לצרף שלוש עקומות כאלה יחדיו, ואז מתקבלת צורה של מעין מגן דוד מלא בליטות ומפרצים, המזכיר בצורתו פתית שלג. 

בעצם לפי חוקי הבניה של העקומה, העקומה של קוך מורכבת מנקודות חוד בלבד - אין בה שום קטע ישר, משום שקטע כזה מייד יוחלף בקטע שבור עם משולש באמצעו. במונחים של מנדלברוט, העקומה הזו היא פרקטל בעל דמיון עצמי, משום שכאשר מגדילים כל קטע קטן בה, הוא נראה בדיוק כמו הצורה השלמה.

זו היתה דוגמה פשוטה לפרקטל הבנוי מקוים. אפשר לעלות מימד ולבנות פרקטל הבנוי ממישורים. צורה כזו היא קוביית הספוג של סרפינסקי. אני משאיר לכם את פענוח מנגנון הבניה של הקוביה. 

אולי כאן המקום להבהיר מדוע הפרקטלים אינם יצורים פיסיקליים. הדבר נובע מעצם הגדרת תהליך הבנייה של הפרקטל כתהליך אינסופי. למרות שהחלקיקים האלמנטריים בטבע קטנים מאד, עדיין המימד שלהם סופי ולכן פעולת חלוקה ובנייה, כמו שמתוארת בבניית פתית השלג של קוך אינה אפשרית בעולם האמיתי ותעצר כשנגיע לחלקיקי היסוד של עולמנו. יתר על כן, גם הדמיון העצמי נעצר בנקודה כלשהי וכשעוברים למימד מיקרוסקופי הוא אינו נשמר בהכרח. עדיין, למרות מגבלה זו, הפרקטלים משמשים אותנו בתיאור עצמים ותופעות בעולם הפיסי בגלל היכולת להציג אותם כקירוב של המצב האמיתי.  

לא מפתיע הוא שכיוון זה לא התפתח לפני התפתחות המחשבים. אמנם ברור מעצם חוקי הבניה שיש כאן דמיון עצמי הנמשך עד לאינסוף, אבל בפועל אי אפשר היה לצייר דברים המתחלקים עד אינסוף ללא מחשבים ואלגוריתם מתימטי העושה את המלאכה. מנדלברוט, שלרשותו עמדו מחשבי IBM יצר את הפרקטל הידוע ביותר – קבוצת מנדלברוט. אמנם כשמגדילים יותר ויותר את הפרקטל הזה הדמיון העצמי אינו מיידי וטריוויאלי כמו בדוגמאות שלמעלה, אבל וריאציות על הצורה המקורית חוזרות ומופיעות.

 ד. המימד הפרקטלי

הנוסחה לחישוב מימד של פרקטל היא פשוטה מאד ואפשר להגיע אליה דרך הדוגמה של פתית השלג של קוך, אבל אני חושש שאם אעשה זאת אאבד את חלקכם בדרך (מה עוד שהנוסחה(1) מכילה לוגריתמים J). אנסה לכן להסביר בצורה אינטואיטיבית את מושג מימדי הביניים שבין אלה שאנחנו מכירים.

לקו יש מימד אחד, כיון שאנחנו יכולים ללכת לאורכו – קדימה או אחורה, על גבי ציר אחד (גם אם הציר הזה מפותל). למישור יש שני מימדים, כיון שבכל נקודה אנחנו יכולים ללכת לשני כיוונים ניצבים (וכל כיוון אחר יהיה קומבינציה של השניים האלה). למרחב בעל נפח נוסף כיוון שהוא ניצב למישור ולכן הוא תלת מימדי.

 בואו נתבונן עכשיו בקו פתית השלג של של קוך כפי שבנינו אותו. אמנם זהו קו ולכן אנחנו יכולים ללכת רק לאורכו, אבל בכל נקודה בו הרי הוספנו עוד שתי צלעות של משולש, כלומר אפשר גם ללכת בניצב. ועוד, הקו הזה הוא אינסופי בכל קטע שלו. ואם אורך הוא אינסופי גם על מרחק של מילימטר, הוא מפותל כל כך שהוא למעשה כמעט מכסה שטח.

למעשה אני יכול, בשטח נתון לבנות קו שיכסה כל נקודה שעל השטח. איך אני עושה זאת? פשוט. נתחיל מנקודה מסויימת. בחרו אתם נקודה כלשהי ואני אעביר קו מהנקודה הראשונה אל הנקודה שבחרתם. תבחרו עוד נקודה ואני אמשיך את הקו שלי אל הנקודה החדשה. יש אמנם אינסוף נקודות בשטח, אבל לי יש סבלנות ואמשיך את הקו אינסוף המשכים לכל הנקודות. כך נוצר קו המכסה שטח מלא. תשאלו עכשיו מה המימד של הקו הזה? מצד אחד הוא קו, אבל מצד שני הוא מכסה שטח. התשובה היא באמצע. אותו הדבר אפשר לעשות עם מישורים, שהם כל כך מפותלים ומחוספסים כך לשלמעשה הם כמעט ממלאים נפח. לפרקטלים יש מימדים שהם שבר שגודלו בין המימדית המוכרים לנו אינטואיטיבית.

המימד של פתית השלג של קוך הוא  1.261859. לקו מפותל יותר יהיה מימד גבוה יותר (בין 1 ל-2). יש מדרג ברור של מימדי הפרקטלים בהתאם ל"מידת" כיסוי השטח ע"י קוים או הפרקטלים שמימדיהם בין 2 ל-3, לפי "מידת" כיסוי הנפח שלהם. בסעיף הבא אביא כמה דוגמאות הממחישות את השימוש במימדי הפרקטלים.

ה. מה עושים עם זה?

ראשית –מחקר כאוס(2). הזכרתי למעלה שמנדלברוט הגה את מושג הפרקטלים כיון שהכיר בתכונות המיוחדות שלהם שנתנו לו כלי לטיפול בתופעות של "כאוס". את המילה כאוס הכנסתי למרכאות, כיון שהיום יש הבדל משמעותי בשימוש במילה הזו במדע לעומת השימוש ההיסטורי ובחיי היום יום. היונים השתמשו במילה כאוס לתיאור מצב של חוסר סדר מוחלט. עד ימינו אלה, השימוש העממי במילה הזו לא השתנה. במדע, לעומת זאת, היתה התפתחות משמעותית בנושא מאז שנות השבעים. מצבים פיסיקליים שנחשבו כאוטיים במובן הקלאסי ניתנים עכשיו לטיפול מתימטי המאפיין אותם במידה מסויימת . הדוגמה הבולטת היא מזג האויר. מודלים המכילים פונקציות של פרקטלים מסוגלים לנבא היום ולנתח את תופעות מזג האויר טוב ממה שעשו בעבר. התנהגות מניות בבורסה, השתנות אוכלוסייית חיות בטבע כפונקציה של הזמן, כל אלה הם התנהגויות כאוטיות שיש להם אפפינים ברורים של דמיון עצמי, ולכן פרקטלים עוזרים רבות במודליזציה שלהם.

צריך להבין. מצבי כאוס לא הפכו למסודרים ומוגדרים בעקבות ניתוחם בעזרת הפרקטלים. חוסר הסדר המוחלט הוחלף במשהו שאפשר לאפיין אותו במידה מסויימת ולנתח אותו, אבל הוא עדיין לא מסודר במידה רבה. הדבר המאפיין יותר מכל את חוסר הסדר הזה הוא אי הודאות בקשר להשפעת שינוי קטן של פרמטר עח ההתנהגות הכללית. ידועה האמרה המפורסמת שמשק כנפי פרפר בהונג-קונג יכול לגרות לסופת הוריקן בארה"ב. אל תקחו את זה כפשוטו. הדבר בא לבטא בדיוק מה שאמרתי כאן - השפעה גדולה מאד (אפשרית ולא נחזית מראש) לשינוי קטן של פרמטר שנראה לא משמעותי.

התנהגות כזו שונה מאד מזו של הפיסיקה הקלאסית וגם הקוונטית. בפיסיקה הקלאסית, השפעת שינוי פרמטר אחד על האחרים מעוגן במשוואת המצב המאגדת את כל הפרמטרים האלה והוא מוגדר לחלוטין. בפיסיקה הקונטית קיים עקרון אי הוודאות של הייזנברג(3), הקובע מידה של אי וודאות מסויימת, אבל גם כאן יש משוואה התוחמת את גודלה של אי הוודאות הזו.

אנימציה ממוחשבת: בגלל האופי הפרקטלי של הרים, נהרות ונופים אחרים, מסתבר  שתיאור הנוף והטקסטורה ע”י פרקטלים, באנימציה ממוחשבת, יוצא יותר ריאליסטי ואמין מאשר כל שימוש בתוכנה אחרת. וכך, הנופים הקסומים ב"הארי פוטר" או ב"שר הטבעות" (כשלא נעשה שימוש בנופיה הטבעיים של ניו-זילנד) הם גרפיקה ממוחשבת הבנויה על או מכילה פרקטלים. כדוגמה אני מביא מערת נטיפים שצוירה ע"י פרקטלים(4) וציור של אי בים.

להדגמה נוספת, דינמית הפעם, הנה תכנה קטנטנה  (בסך הכל 5K) של פונקציה פרקטלית, שאפשר להוריד אותה בחינם ובהסעת העכבר לנדוד בין הרים קסומים ואדומים, לכאורה על פניו של מאדים.

שימושים במדעים אחרים: כמו שכבר ציינתי למעלה, לרבים מהישויות הפיזיות בעולמנו יש אופיינים פרקטליים כלומר דמיון עצמי בהרבה סקלות גודל. השימוש בפרקטלים נעשה אם בהכנסתם למודלים המדמים את התופעות (כמו שתיארתי למעלה לגבי הכאוס) או במיון לפי המימד הפרקטלי, כדי לקבל הארה לגבי התכונות הנגזרות מכך.

לפני ימים אחדים נתקלתי במאמר בחוברת ספטמבר/אוקטובר האחרון  של הדו-ירחון News  Europhysics המשוה את הדמיון העצמי של קריעת יריעת פלסטיק לזה של קצה עלע מן הצומח ואת שניהם לפתית השלג של קוך ומסיק מכך מסקנות. התמונה מהמאמר מדברת בעד עצמה. 

אביא עוד דוגמה, שהיא מתחום עיסוקי. כפי שהדגמתי במאמרי "מיקרוסקופיה אטומית – מדע, אמנות והעתיד", יש מישורים גבישיים חלקים וכאלה המחוספסים יותר (תמונה 1, לעומת תמונות 2 ו-3, למשל). את מידת החיספוס של מישור מיקרוסקופי כזה אפשר לאפיין ע"י מימד פרקטלי, שהוא גבוה יותר ככל שהחספוס עולה. החשיבות המעשית באפיון כזה היא שהיא מאפיינת את מידת הריאקטיביות הכימית של המישור. הסיבה היא פשוטה. במישור חלק לחלוטין (למשל בתמונה 5 במאמר על המיקרוסקופיה), כל האטומים מוקפים באטומים מכל צידיהם, להוציא כיוון אחד – הניצב החוצה למישור (ציור 8א'). כלומר, יש רק קשר אטומי אחד פנוי להתקשרות כימית. אם אטום יושב, לעומת זאת, בפינה של מדרגה, יש לו קשרים פנויים להתקשרות משלושה כיוונים (ציור 8ב'). ולכן האקטיביות הכימית שלו עולה. המימד הפרקטלי העולה מציין, לכן, את המספר הייחסי של אטומים אקטיביים כאלה על פני השטח. 

אמנות: אחרון אחרון חביב, עלי במיוחד, הוא השימוש של הפרקטלים באמנות. ציורי פרקטלים במחשב הם בדרך כלל יפהפיים. חיפוש ב- Google של המילה "fractal" יביא אתכם למאות אתרים המלאים בציורי פרקטלים(5). יותר מזה, תוכנות שונות, הבולטת מביניהן נקראת (6) Ultra Fractal 3, ניתנות להורדה מהרשת בחינם (בד"כ לתקופת נסיון) ואתם יכולים לצייר פרקטלים יפים בשיטת "עשה זאת בעצמך".

אני מביא כאן שני ציורי פרקטלים כדי לעורר את התיאבון.

אמנים אחרים לא מסתפקים בציורי פרקטלים נטו ומשלבים אותם בציורים יצירי מחשב(7).
  

לסיכום

את ההוכחה לקיומו של האלוהים לא מצאתי בפרקטלים. אולי לא חיפשתי מספיק... מלבד זאת, מפתיע כמה השתלבו יצורים מקסימים אלו, שמקרוב באו, בתחומים כל כך שונים של המדע, קולנוע, אמנות ועוד. עולם במימד שבור, עשיר ומגוון, שכמה שתחפור בו תמצא עוד צורות וצבעים, בעלי דמיון עצמי, אסטטיים וגם מועילים.

תגיות: 

הוסף תגובה חדשה

CAPTCHA

משהו קטן לוודא שאינך רובוט. משתמשים רשומים מדלגים

ענה לשאלה / השלם את החסר

הנצפים ביותר

מאמרים נוספים מאת נח שמיר