אימגו מגזין מאמרים

כתב עת בנושאי תרבות ותוכן

מתמטיקה והעולם / גסקינג


קטגוריה: 

סקירת המאמר "מתמטיקה והעולם" מאת דאגלס גסקינג

במאמר זה מנסה המחבר להבהיר את טבען של הנחות מתמטיות ואת הקשר שלהן לעולם המניה והמדידה. כיצד והאם בכלל ניתן להגדיר את המושג "הנחה מתמטית".

דעות הפילוסופים לגבי הנחות מתמטיות מתחלקות לשני סוגים עיקריים. ישנם אלה המנסים לסווג את אותן הנחות בקטגוריה נפרדת משל עצמה, כמו אותם פילוסופים המתייחסים לתחושתיות הרוחנית של כסאות ושולחנות ולא אל מוחשיותם. לעומתם ישנם אלה המתייחסים אל כסאות ושולחנות בתכונותיהם המוחשיות המקובלות, גם אצל אנשים שהם לא בהכרח פילוסופים. ניתוח הנחות על פי גישת קבוצת הפילוסופים הראשונה, אם כי הקיצונית יותר בדעותיה, הוא מעניין יותר אם כי לא תמיד נכון ומדויק כמו הניתוח השמרני יותר השייך לקבוצה השנייה.

כאשר העניין נוגע לניתוח טבען של הנחות מתמטיות, ישנן שתי דעות עיקריות. האחת טוענת כי הנחות מתמטיות מבוססות היטב על הכללות אמפיריות מסוג מסוים או שהן בעלות טבע הדומה לתורה פיסיקלית מבוססת היטב. מנגד, עומדות תיאוריות שונות המתייחסות אל השימוש בסימנים המתמטיים עצמם. לדוגמה: "הנחה מתמטית כלשהי מבטאת את הרצון של הוגהה לגרום לאחרים להשתמש בסימנים אותם בחר לצורך ההנחה באופן דומה לשלו. הוא בעצם מכתיב את אופן השימוש בסימנים אשר בחר". או "הנחה מתמטית היא טענה אמפירית המתארת כיצד אנשים משכילים משתמשים באוסף מסוים של סימנים מוסכם", "הנחה מתמטית היא אוסף חוקים המתאר כיצד להשתמש באוסף של סימנים" ( ayer ו- c.i. lewis השתמשו בהגדרות מסוג זה).

טענות אמפיריות מסבירות כיצד הנחה מתמטית מבטאת הכללה אמפירית מבוססת היטב הנוגעת לתכונות ולהתנהגות של עצמים, טענה אשר נבדקה היטב על ידי מספר גדול של תצפיות ומבטאת בקונסיסטנטיות דפוס החוזר על עצמו. לדוגמה, הטענה “7+5=12” משמעותה שהניסיון מלמד שאם נספור קבוצת עצמים בעלת שבעה איברים, לאחר מכן נספור קבוצה נוספת של איברים המונה חמישה איברים ולאחר מכן נמנה את כל האיברים ביחד, תמיד נקבל תוצאה של שניים-עשר איברים. דוגמה נוספת, הטענה "למשולשים בעלי צלעות שוות יש זוויות שוות" מבטאת את העובדה כי בכל פעם שנמצא, ע"י מדידה, כי למשולש מסוים יש שלוש צלעות בעלות אורך שווה, נמצא, ע"י מדידה, כי גם שלוש זוויותיו שוות בגודלן.

לגבי הטענה “7+5=12”, לעיתים קורה שאנשים טועים בספירה ומקבלים 11. קורה גם שתוך כדי הספירה, תלוי בחומר אותו סופרים, עצמים נוטים להימס (במקרה ומדובר למשל בשעווה) או להתלכד (אם מדובר לדוגמה בכספית נוזלית). לעיתים קורה שאנו עושים שגיאות במדידה עם סרגלים ומדי זווית. אם כן, מהו הקריטריון לנכונות בספירה ובמדידה?

גסקינג מבחין בין הנחות ברות-תיקון לבין הנחות שאינן ברות תיקון. דוגמה להנחה ברת תיקון היא למשל הטענה כי "מר סמיט יהיה כל היום מחוץ למשרד היום". ככל שהמידע שלנו יהיה מהימן כאשר אנחנו באים בהצהרה כזו, תמיד ישנם גורמים נוספים אותם איננו יכולים לקחת בחשבון מראש והיכולים לשנות את מהימנות ההצהרה, למשל העובדה כי מר סמיט נזכר פתאום כי עליו לעשות כמה טלפונים דחופים ולכן החליט לעבור במשרד לפני שהוא מחליט לפנות לעיסוקיו החוץ-משרדיים, עובדה אשר תשנה את נכונות הטענה כי הוא יימצא מחוץ למשרד כל היום. לעומת טענות מסוג זה, עומדות הטענות המתמטיות המוגדרות על ידי המחבר להיות טענות שאינן ברות תיקון. העובדה כי שבע ועוד חמש שווה לשתיים-עשרה היא עובדה שאין עוררין על נכונותה מכיוון שלא קיימים גורמים כלשהם היכולים להוכיח את אי-נכונותה. לא משנה כמה אנשים יטעו בספירת שבעה ועוד חמישה עצמים ויקבלו סך של אחד-עשר, איש לא יקום ויזעק כי הטענה “7+5=12” לא נכונה. ניתן להשתמש בנימוקים פסיכולוגיים המסבירים כי במצבים מסוימים (למשל תחת היפנוזה) אנשים נוטים לסכם חמש ועוד שבע להיות אחת-עשרה, או הסבר פיסיקלי המנמק כי תופעה מעניינת הקשורה לסכימת שבעה עצמים עם עוד חמישה גורמת לאחד מהם להיעלם כך שהתוצאה תהיה אחד-עשר עצמים. במקרים כגון אלה, אנו נעדיף לשנות את הנחותינו הפסיכולוגיות ונתאים מחדש את חוקי הפיסיקה אבל לא ניגע בחוקי המתמטיקה.

ובכן מהי הגדרתה הנכונה של המתמטיקה? הטענה כי "הנחה מתמטית מתארת את דרכו של הוגהה להשתמש בסימנים באופן מסוים" ברור שאינה מדויקת. לו הייתה נכונה, אזי יכול היה אדם להחליט כי הוא קובע את השימוש בסימן + באופן הבא: “5+7=35”. אבל הנחה זו לא הייתה נכונה מתמטית. המתמטיקה אינה מתחשבת ברצונו של הפרט ולכן לא ניתן להחליט על שינוי בתפקיד הסימנים. הגדרה נוספת מנסה להסביר את המתמטיקה באופן הבא: "הנחה מתמטית היא טענה אמפירית המתארת את האופן בו אנשים משתמשים בסימנים מסוימים". גם ניסיון הגדרה זה, אם כי הוא יותר מתקרב לאמת, לוקה בחסר מאחר והוא מסביר דברים הברורים מאליהם. משפט כגון “5+7=12” יהיה נכון ללא קשר לשפה או אופן סימון אחר. "הנחה מתמטית מתארת את כלל התפעול בסימנים מתמטיים", מכאן נובע כי בחירת הסימנים בשימוש היא אקראית אך זה לא ייתכן מכיוון שבחיי היומיום, אם ישתמש מהנדס בלוח כפל שונה מן המקובל, יקרוס הגשר שיבנה.

מסקנתו של המחבר עד לשלב זה, היא כי ההנחות המתמטיות אינן מנותקות מן המציאות, אלא הן חלק ממנה. מהנדס לא יכול להשתמש בכל לוח כפל בבניית גשר כי סופו יהיה להתמוטט ולכן השימוש בהנחות המתמטיות שייך לחלוטין למציאות.המציאות אומרת שהמתמטיקה כמו שהיא, היא הנכונה.

ובכן, הנחות מתמטיות הן כמו חוקים לשימוש בסימנים, כמו הנחות אמפיריות לגבי אופן השימוש בסימנים, כמו הצהרת כוונות לשימוש עפ"י כללים מוסכמים. הן מה שהן, משמשות לאשר הן משמשות ולא דומות ממש לאף סוג של הנחות אחר. על כן, דווקא ניסיונות ההגדרה השמרניים יותר הם אלה המגדירים אותה היטב. הנחות מתמטיות הן סוג של הנחות העומד בפני עצמו. הגדרה זו, נכונה ככל שתהיה, אינה מספקת, אך גם ניסוחים מלומדים יותר אינם מצליחים להסביר את טבען.

כאן מתחבט גסקינג עם השאלה כיצד לגרום למישהו לקבל את ההנחות המתמטיות כחלק מהמציאות הקיימת או לחלופין "קשרים הכרחיים בין עולמות". ראשית, יש להסביר לאיש (או ליצור מכוכב אחר) כי מילים כמו צבע, גודל, מספר, צורה וכו' הן מילים אוניברסאליות. לאחר מכן ניתן לדבר איתו על הקשרים הכרחיים בין עולמות כגון: "לכל דבר יש צורה וגודל", “2+2=4”, "שתיים מזוויותיו של משולש שווה שוקיים הן שוות" וכן הלאה. המושגים הללו ייכנסו לתודעתו דרך טענות ספציפיות כגון “2+2=4” ולא דרך ניסיונות להגדיר מהן "הנחות מתמטיות". כדוגמה לכך מוצג תהליך הלמידה אצל ילד, אשר לומד את משמעות המילים "לראות", "לא לראות" ו-"כיסוי עיניים" לפני שהוא לומד את משמעות המושג "עיוור" ע"י ההסבר: "עיוור הוא אדם שלא רואה באור יום גם כאשר עיניו אינן מכוסות". אז, אם ישאל הילד על העיוור מדוע הוא לא רואה לאור יום גם כאשר עיניו אינן מכוסות, תשובה כגון "כיוון שהאיש עיוור", אינה יכולה לספקו. בדומה לתשובות של הזרם השמרני בפילוסופיה, הן יכולות למנוע שאלות נוספות בנושא, אך הן גורמות לחוסר נוחות מסוים.

בעיות דומות מטרידות את ראשו של זה המנסה למצוא הגדרה למונח "טענות מתמטיות". הנחות מתמטיות הן מה שהן ולכן כל ניסיון להגדיר אותן כדומות למשהו אחר או להגדיר אותן כאוסף של חוקים הנוגע לשימוש בסימנים, יהיה ניסיון כושל. באופן דומה הגדרותיה הפשטניות השייכות לאסכולה השמרנית, אלה יהיו הגדרות פשוטות מידיי ולא ממצות. הדרך היחידה לפתור את הפאזל הוא לתאר את השימוש בהנחות מתמטיות דרך דוגמאות.

גסקינג מתאר בעזרת מספר דוגמאות את ההגדרה, השגויה אם כי מעוררת מחשבה, כי טענות מתמטיות מביעות את הכללים לעבודה עם סימנים. על פי הנחה זו, בחירת הסימנים יכולה להיות אקראית, אך בעולם שלנו, רק המתמטיקה המוכרת לנו על כלליה, חוקיה וסימניה, מתאימה למטלות היומיום ועומדת במבחן המעשה. גסקינג טוען כי לא כך הדבר והוא מנסה, ע"י מספר דוגמאות, להוכיח אחרת. מאחר ורעיונותיו של גסקינג רבים ומגוונים, אפרט רק אחד מהם על מנת להמחיש את הרעיון. כל הדוגמאות מציגות בעיית ריצוף של חדר מלבני. גודל המרצפות הוא 1x1 מ'.

דוגמה שנייה של גסקינג: בדוגמה זו מימדי החדר הם 3x4 מטר. נניח שעל פי לוח כפל מיוחד משלנו, נקבל 3x4=24. הבנאי הממונה על ריצוף החדר מודד את אורכו ואת רוחבו באותו האופן בו אנחנו מודדים היום. מידות החדר המלבני, על פי מדידתו של הבנאי יהיה 3x4 כצפוי. על פי לוח הכפל המיוחד שלנו הנמצא בידיו, ימצא הבנאי כי 3x4=24 על כן הוא מתחיל לספור אריחים באופן הבא: הוא מרים אריח ראשון מרצפת המחסן וסופר "אחד", מניח את האריח על גב משאיתו וסופר "שניים", מרים אריח נוסף מהמחסן וסופר "שלושה", מניח אותו על גבי המשאית וסופר "ארבעה" וכן הלאה. עם שיטת ספירה מיוחדת זו יצליח הבנאי החרוץ לרצף את החדר במדויק ע"י "עשרים וארבעה" אריחים. דוגמה זו ממחישה כי טכניקת החישוב היא יחסית לטכניקה מסוימת של מדידה ולטכניקה מסוימת נוספת, של ספירה. דוגמאות נוספות מציעות שיטות מדידה אחרות ואפילו תיאוריות פיסיקליות מופרכות לחלוטין, הכול על מנת להתאים ללוח הכפל המוזר אותו הגדרנו בהתחלה.

בשורה התחתונה, מציין המחבר, כי אם הנחות מתמטיות היו לחלוטין לא ברות-תיקון, אזי לרוב אנו מעדיפים לשנות את חוקי הפיסיקה במקום לשנות את כללי המתמטיקה. מצד שני, ייתכן מקרה בו נמצא את חוקי הפיסיקה משתנים תדיר ונעשים מסובכים מידיי, במקרים אלה אולי נגלה כי ע"י שינוי כללים מתמטיים נשפיע רבות לטובת פישוט הפיסיקה. כהוכחה לכך ניתן לראות כי במספר ענפים של הפיסיקה המודרנית הוחלפה הסיסטמה המתמטית הסטנדרטית, באחרת המתאימה יותר לסביבת העבודה הפיסיקלית. גם במקרים קיצוניים אלה ניתן להבין כי המתמטיקה אכן משקפת את מה שקורה בעולם. בעזרת חוקי המתמטיקה והגיאומטריה שלנו כיום, אני יכולים להבין את הפיסיקה של העולם הסובב סביבנו ע"י מערכת של כללים וחוקים יחסית פשוטים בעוד שאם היינו משתמשים במערכת אחרת של חוקים מתמטיים, היינו יכולים להסתבך בניסיונות להבין את חוקי הפיסיקה עליהם מתנהל ה"עולם שבחוץ".

ניתוח המאמר

גסקינג מתחבט עם השאלה "כיצד ניתן להגדיר מהי הנחה מתמטית?". הוא סוקר וסורק ניסיונית הגדרה שונים על פי שתי אסכולות בפילוסופיה. האחת היא אסכולת הפילוסופים השמרניים, הטוענים כי המתמטיקה היא משהו אחר, היא אוסף של חוקים העונה על הצרכים וההגדרות של עצמו. למרות שלפי דעתו של גסקינג זוהי ההגדרה הקרובה ביותר למציאות, הרי שהיא ריקה מתוכן ובעצם לא מגדירה דבר וחצי דבר הנוגע לטבען של הנחות מתמטיות. האסכולה השנייה היא זו של הפילוסופים הרדיקליים, אלה הנוטים לשייך תחושתיות לעצמים במקום לייחס להם את תכונותיהם החושיות. אלה מציגים מספר הגדרות שונות למונח, חלקן טוענות כי זהו אוסף של חוקים אשר הוכחו אמפירית. חלק אחר טוען כי זהו אוסף של חוקים וכללים המגדיר את אופן השימוש בסימנים. חלק נוסף משלב בין שתי ההגדרות האחרונות. ברור, לפי המחבר וגם לדעתי, כי הגדרות אלו לוקות בחסר. הן אינן מכילות מידע מספק לגבי מושא הגדרתן, יש בהן חורים רבים.

גסקינג תוקף את כל ניסיונות ההגדרה של הפילוסופים הרדיקליים על ידי דוגמאות סותרות. כנגד האמפיריות הוא מביא מצב בו אנשים טועים בספירה באופן קבוע, אך זה לא מספיק על מנת לטעון כי הטענה 5+7=12 אינה נכונה. לעיתים קורה שחומר מתמוסס או מתלכד ובבואך לסכום שבעה עצמים עם עוד חמישה, תהליך המניה יציג מספר הקטן מ- 12. אך גם מקרה זה אינו מצדיק שינוי הטענה 5+7=12. ברוב המקרים, נעדיף לשנות את החוקים הפיסיקליים על מנת להתאים אותם לחוקי המתמטיקה שבהם אנו משתמשים ולא לשנות את חוקי המתמטיקה עצמם. אם כי, ישנם מקרים בהם שינוי חוקי המתמטיקה יעזור להבנת הפיסיקה. לדוגמה, המספרים המרוכבים, מספרים המוגדרים כ- a+ib כאשר a ו- b הם מסרים ממשיים ואילו i (החלק שנקרא "דמיוני") מוגדר להיות השורש הריבועי של המספר -1. המספרים המרוכבים הוגדרו במאה ה- 17 ושימשו מאז בעיקר לפתרון משוואות דיפרנציאליות. משוואות מסוג זה משמשות אחת מאבני הבסיס של כל תורת בניית מכונות.

המסקנה הבלתי נמנעת, היא שישנו קשר חזק בין המתמטיקה למציאות, קשר יציב ומחייב שהרי מהנדס לא יכול לבנות גשר על בסיס לוח כפל שונה מזה המקובל על כולנו, גשר זה סופו להתמוטט, זאת המציאות. הנחות המתמטיקה הן אכן מה שהן ויש ביניהן לבין המציאות קשר תלותי ובלתי אמצעי. המתמטיקה היא התרגום התיאורטי, לכל מה שקורה בטבע ובפיסיקה. הטבע והפיסיקה מתנהלים על פי חוקי המתמטיקה ולהיפך, חוקי המתמטיקה הם כמו שהם כי הם תרגום של התנהגות הטבע והפיסיקה.

השוואה לפרדוכס הספקן

פרדוקס ההגדרה של ההנחה המתמטית, דומה במידה מסוימת לפרדוכס הספקן של ויטגנשטיין. על כל טענה מתמטית ניתן לשאול את השאלה "אבל למה זה נכון?". תמיד אפשר לומר שמספר הפעמים בהם התנהל הניסוי בעבר אינו יכול לנבא את תוצאת הניסוי הבא. מצד שני, הניסיון מוכיח את עצמו שוב ושוב ובכל זאת, זו לא תהיה הסתכנות בטעות כשאר נחליט כי התורה היא אכן מוכחת אמפירית. כאשר דיברנו בכיתה על פרדוכס הספקן, ראינו במקרה את אותה הדוגמה שמביא גסקינג במאמר לגבי הטענה 5+7=12. במאמר והן בכיתה, דנו במשמעות של חיבור המספר חמש למספר שבע. איחוד קבוצות, כפי שאנחנו מכירים, לוקח את שבעת האיברים אשר בקבוצה הראשונה, מוסיף אותם לקבוצת חמשת האיברים ולאחר מכן מונה את גודל הקבוצה החדשה. גסקינג מציע כללים חדשים ויצירתיים כגון טעות בספירה, התרחבות או התלכדות חומרים, כך או כך, דרכים שונות להסביר מדוע התוצאה הסופית לא תמיד יוצאת שניים עשר איברים. בפרדוכס הספקן דיברנו על כלל איחוד קבוצות שונה מזה שאנחנו מכירים. הכלל הוגדר להיות כלל החיבור בין שני מספרים a ו- b באופן הבא:

המשותף לגישות של ויטגנשטיין ושל גסקינג, הוא הניסיון להקצין על מנת להוכיח עד כמה מגוחך נשמע הרעיון להשתמש בחוקים מתמטיים השונים מאלה שאנחנו מכירים ויודעים שהם עובדים. רוב המתנגדים למהלך הספקני טוענים שיש לנו נטייה גנטית, קבועה פיסיולוגית הטבועה בנו ואומרת לנו שאנחנו "בנויים באופן כזה" שמקבל את הפעולות המתמטיות כפי שאנחנו מכירים אותן וזו הסיבה לתשובה "12" כפתרון התרגיל “5+7=”. לבני האדם ישנה תכונה המכירה את כללי המתמטיקה הפשוטה. כששואלים אותנו כמה זה חמש ועוד שבע, יש לנו תכונה שנוטה לענות שתיים עשרה. בדיוק כמו שלחלון זכוכית יש תכונה של שבריריות, הוא יכול להישבר, גם לבני האדם יש את התכונה לפלוט את התשובה שרוב בני האדם יפלטו כאשר יישאלו את אותה שאלת חיבור פשוטה. התכונה היא טבעית ומוטבעת בנו, אך בכל זאת נדרש עבור התמעטה האופטימאלית תהליך של לימוד.

ויטגנשטיין

התהליך הלימודי של ילד את השפה אותה הוא דובר, אינו מתחיל בביסוס האותיות המרכיבות את ה א-ב של השפה אותה ילמד לדבר. הילד שומע ומפנים את כל מה שנאמר סביבו, יש שהוא מבין ויש שלא, אך ככל שהוא מתבגר ומבין יותר, מושגים שכבר הכיר באופן מעורפל מתחילים לקבל הגדרות מדויקות יותר ולעצב את עולמו באופן מסודר יותר בהתאם למציאות. תהליך דומה קורה לכל אחד כשמדובר גם בביסוס יסודות המתמטיקה. כאן אני מסכימה עם גסקינג בבואו להדגיש שאת הנחות המתמטיקה יש להסביר דרך דוגמאות במקום לנסות ולהגדיר את המשמעות שלהן. ילד חכם אולי יצליח להבין כאשר מסבירים לו תיאורטית איך לחבר חמש ועוד שבע, אך רוב הילדים יתפסו את הפרינציפ לאחר מספר הדגמות עם תפוזים, עפרונות צבעוניים, ויותר מכל אצבעותיהם. מספר שבטים פרימיטיביים שחיים עד היום ופזורים בכל העולם, מדברים על המושג של "זכרון שבטי". תינוק חדש שמגיע לאוויר העולם, יש בתוכו כל הזיכרונות של השבט, הוא נולד, לדעתם, עם ידע הכולל את נורמות ההתנהגות בשבט, הכרת מנהגים וטכסים. הילד גדל כחלק מהשבט ולומד בשנות חייו את נורמות ההתנהגות המקובלות במקום אליו הוא שייך. לטענת אותם שבטים, הילד הכיר את החוקים לפני כן ולכן קל לו להשתלב בתוך אנשים שכמותו, ספקן אולי היה שואל "הילד הכיר את חוקי השבט או שמא למד אותם תוך כדי התבגרותו?". העונה לספקן היה אומר כי הילד "בנוי" באופן כזה שיקלוט את סביבתו. באותו אופן ניתן להתייחס לאותה תכונה הקיימת בנו ומאפשרת לנו לדעת את חוקי המתמטיקה. ילדים סופרים בעזרת האצבעות גם אם לא מראים להם איך לעשות זאת, זוהי התנהגות טבעית.

לסיכום:

פרדוכס ההגדרה של הנחות מתמטיות מראה את הקושי בהגדרת המתמטיקה עצמה, מהי תפקידה בחיינו ומהו מקומה מבחינה פיסיקלית. פירושים כאלה ואחרים על פי אסכולות שונות של הפילוסופיה אינם מספקים את ההגדרה המלאה. הגדרות שונות שניתנו נתקלו במבוים חסומים, בין אם בשל היותן לא שלמות ובין אם בהיותן חסרות כל תוכן ממשי ולא אומרות בעצם כלום. המתמטיקה היא מה שהיא, אני מסכימה עם גסקינג, היא אוסף של חוקים וכליים שלא דומה לאף אוסף חוקים וכללים אחר, מבוסס היטב מבחינה אמפירית, קובע את השימוש בסימנים על פי חוקים מוסכמים. חוקי המתמטיקה נכונים כי הם משקפים את העולם הסובב אותנו.

ההנחות המתמטיות הן קבוצה של סימנים המוגדרים היטב ביניהם ובעזרתם ניתן להבין את העולם שבחוץ. בדיוק כמו שפה, הבנויה מאותיות ומילים ומשפטים אשר מטרת כולם ביחד לשקף את העולם שבחוץ. שפת המתמטיקה, לפחות האריתמטיקה הפשוטה, קלה ללמידה מאותה הסיבה שלילד יש את היכולת לקלוט שפה. אולי אפשר לקרוא לזה "זכרון שבט", אולי תכונה, מה שבטוח הוא שזה חלק מהטבע שלנו כבני אדם. אנחנו בנויים להכיר את המתמטיקה כפי שהיא, כולנו מבינים שאפשר להמציא חוקים חדשים, אך מעטים הם אלו אשר באמת ינסו לבנות גשר על פי החוקים החדשים שהמציאו.

המתמטיקה היא מה שהיא, היא נכונה כי היא משקפת את הטבע. כאשר מהנדס מכבד את חוקיה, נוכל לבטוח בגשר שהוא תכנן. ברור לכולם שהיא נכונה, כולנו מבינים שהתזוזה הכי קטנה באחד מכלליה, נאמר שנחליט פתאום ש- 5+7=11, החלטה כזו לגרום לחוקי הפיסיקה להשתנות בהתאם ולהיראות כל כך מסובכים שלא נוכל להבין בהם כמעט כלום.

המתמטיקה היא מה שהיא, היא נכונה כי היא משקפת את הטבע.

עד כמה שדעתי הענווה יכולה לתפוס בדיון כזה, מתמטיקה היא פשוט עוד שפה. זוהי אחת השפות הקשות ביותר, אם לא הקשה ביותר, מבין השפות אשר אותן דוברים בני אדם. זוהי שפה אוניברסאלית שאותה כולם מבינים. כל אדם נולד עם יכולת ללמוד שפה, המתמטיקה היא תמיד שפה שנייה. אנשים שונים נבדלים בכושר יכולתם ללמוד שפות זרות. מתמטיקה, בשל היותה שפה זרה, הבנויה באופן כל כך שונה משפת האם (מספרים במקום אותיות ועשרות סימנים מוזרים כגון: +,/,-,,=,! ועוד ועוד), זוהי השפה הקשה ביותר, על הלומד אותה להסתגל לחוקים חדשים וסימנים חדשים ואפילו משמעויות חדשות למשפטים שונים. יתר על כן, הילד המתחיל ללמוד מתמטיקה מתחיל ללמוד דרך הקשר ההכרחי הקיים בין המתמטיקה לבין העולם הסובב אותו (ספירה, חיבור, חיסור ועוד), באמצעות דוגמאות עם חפצים ואצבעות. בשלב מוקדם בתחילת חטיבת הביניים, הילד מאבד את ההקשר בין המציאות לבין אוסף הסימנים אשר תאר יחסים שונים בין כמויות שונות של חפצים. בכיתה ז' נכנסת האלגברה ומוסיפה עוד 23 סימנים נוספים לאוסף הסימנים הקיים מבחינתם של התלמידים, עד כה. סימנים אלה מבלבלים עוד יותר בשל היותם שייכים לשפת אימם (או לשפה נוספת הנלמדת בביה"ס, אנגלית). לסימנים אלה יש גם אוסף של חוקים המלווה אותם, קודי התנהגות חדשים נכנסים לאותה השפה. בניגוד לשפה במובן הרגיל של המילה (אנגלית, צרפתית...), השפה אינה גדלה רק בהוספה של מילים חדשות, כל תוספת של מושגים חדשים לידע המתמטי מגיעה עם אוסף של חוקים וכללים לעקוב אחריהם. בשפה "רגילה" ככל שתקרא יותר, תדבר יותר, תכתוב יותר ותלמד מילים חדשות יותר, כך תדע את השפה טוב יותר ויישאר לך פחות ללמוד, הידע הוא סופי. מתמטיקה היא שפה בעלי קודים שונים של סימנים וחוקי תחביר שונים משפות "רגילות". מספר הסימנים בה הוא עצום ביחס למספר הסימנים שיש לאדם הלומד שפה חדשה ללמוד. תוספת של אוסף סימנים חדש, מוסיף איתו בכל פעם מספר חוקים נוספים. הידע במתמטיקה הוא אינסופי. לדעתי, הקושי בלימוד המתמטיקה הקיים אצל אחוז גבוה מהאוכלוסייה, נובע מהקושי בלקלוט שפה עם כל כך הרבה סימנים וחוקים וכללים, שפה המשקפת את המציאות, בנויה לתלפיות ע"י מי שבנה/המציא אותה.

השאלה האמיתית שצריכה, לדעתי, להישאל עכשיו, היא מה קדם למה, הפיסיקה או המתמטיקה? אבל זה כבר נושא למאמר אחרת...

תגיות: 

הוסף תגובה חדשה

CAPTCHA

משהו קטן לוודא שאינך רובוט. משתמשים רשומים מדלגים

ענה לשאלה / השלם את החסר

הנצפים ביותר

מאמרים נוספים מאת